Article en cours de mise à jour - images et hiéroglyphes manquants
La pensée mathématique égyptienne, qui est purement géométrique, et donc purement logique, est gouvernée par les principes théologiques. Il nous est donc difficile, avec notre esprit « algèbrique » du XXIeme siècle, de rechercher et comprendre les connaissances mathématiques des Anciens.
Le système est un système abaciste, où le zéro et l’infini n’existent pas. Le système décimal, avec le zéro, n’a été introduit qu’au XIIème siècle, apporté par l’Islam et venant des Indes. On opposa alors au système abaciste, le système que nous appelons algorithme, en hommage au mathématicien El Khorasmi, qui révéla ce système.
La base philosophique des mathématiques égyptiennes est la reconnaissance d’une origine abstraite, et du coup, toute la pensée qui en résulte est totalement différente de la notre.
Deux éléments-base de nos mathématiques sont absent : le zéro et l’infini. Ces mots, pour nous désignent une négation (le zero) et l’inconnaissable (infini). La pensée égyptiene est totalement différente, et ces deux notions n’ont pas de concept. Ce qui est Inconnaissable en Egypte, c’est la Cause originelle, et celle-ci vaut Un : c’est l’Unique absolu contenant tout l’Univers. La négation « zéro » est imagination et ne peut éventuellement servir qu’à désigner une absence, ou un niveau qui sépare l’affirmation de la négation (nous verrons un cas de solution géométrique d’un problème algèbrique avec l’exemple du Problème No 40 du Papyrus Rhind). En clair, les mathématiques sont la transcription essentielle, en Nombres, de la connaissance concrète de l’Univers.
L’Unité Causale est Tout, et dès lors, l’Univers qui en résulte ne peut être vu que sous la forme de fractions de cette Unité. Le fractionnement (la Division originelle du mystère héliopolitain) devient la Loi, le « geste » divin, à l’exemple duquel il faut procèder.
Ainsi toute l’arithmologie égyptienne est fondée sur l’Unité et ses fractions, puis sur le retour à l’Unité.
Autre point que nous pouvons voir dans les Problèmes du Papyrus Rhind, et qui nous permet là encore d’aborder, de sentir la Pensée Egyptienne : on y trouve pas les règles qui régissent les opérations. Elles sont utilisées dans l’exposé des Problèmes, mais c’est à l’élève auquel sont exposés ces Problèmes, de les découvrir. L’élève qui y réussissait pouvait être considéré comme ayant l’esprit mathématique.
Et c’est sans doute dans ce sens là qu’il faut comprendre l’enthousiasme du scribe Ahmès, lorsqu’il dit : « Ici est inscrite toute la connaissance ».
On peut aussi remarquer dans le Papyrus Rhind, une aptitude particulière des Egyptiens pour le calcul mental. Beaucoup d’opérations ne sont pas mentionnées par le scribe, parcequ’elles se faisaient mentalement. Pour les conversion de fraction, il existait des « tables » toutes prêtes, comme nous avons de nos jours des « tables de trigonométrie » par exemple.
Le Papyrus Rhind, derrière cette suite de Problèmes, nous permet de mieux comprendre certaines notions de la pensée égyptienne. Il reste un témoignage vivant.
Il ne faut jamais oublier que tout est sous la règle théologique. Il n’y a donc pas de jeu mathématique en Egypte, contrairement à la Grèce par exemple.
Le papyrus Rhind fut trouvé en deux fragments dont un se trouve au British Museum et l’autre à l’Historical Society of New York, le tout formant à l’origine un seul rouleau.
Il mesurait à l’origine 543 cm de long, sur 33 cm de haut, et se constituait de 14 feuilles collées. Il est écrit sur les deux faces, à l’encre noire pour les textes et les chiffres, à l’encre rouge pour les titres et pour faire ressortir certains nombres.
Le papyrus commence par une dédicace écrite sur deux colonnes verticales, puis sur toute sa longueur, est divisé en 6 bandes horizontales sur lesquelles se succèdent les problèmes.
Sur l’endroit, on trouve la table de 2/n ; les problèmes No 1 à 40 ; puis après un espace, les problèmes No 41 à 60. Sur l’envers, on trouve les « Miscellanées », problèmes de toutes sortes No 61 à 86. Ils apparaissent comme des compléments d’information pour les problèmes No 1 à 60, qui se suivent dans un ordre croissant de difficulté.
Mais avant de passer à l’étude de quelques problèmes du Papyrus Rhind, nous devons nous familiariser avec les notations des nombres et les méthodes de calcul utilisées en Egypte.
Les puissances de dix, à savoir cent, mille, dix mille, cent mille, etc, ont chacune un signe différent, mais de la même facon, se répètent autant de fois qu’il y a de centaines, milliers... dans le nombre que l’on veut noter.
Ce système tendrait à montrer l’origine du système de numération utilisé par les Pythagoriciens, qui exprimaient les propriétés des nombres au moyen d’ « unités-points ». Tout nombre, dès lors, peut représenter une figure : il peut être par exemple produit ou somme, ce qui est exprimé dans les différentes figures qui représentent les unités-points. Pythagore a été instruit en Egypte, comme de nombreux Grecs (il y avait beaucoup d’échanges), Egypte qui utilise ce système d’unités-points. Le fait que les pythagoriciens utilisaient les lettres de l’alphabet grec pour écrire les nombres unité-points, montre d’ailleurs qu’ils ont importé un système étranger, différent de celui utilisé normalement.
Nous ferons souvent référence à des principes Grecs pour montrer que ces trouvailles comme le théorème de Thalès, par exemple, sont déjà bien connues en Egypte. (L’article sur le Problème 53 - Papyrus Rhind est en cours d’élaboration).
« Les Pythagoriciens ont ramené tous les nombres à dix, et au-dessus de dix, il n’ y a plus de nombres nouveaux (...) C’est le cercle et la limite de tout nombre, car c’est à lui que nous tournons et revenons en arrière, comme à la borne les coureurs qui doublent le stade. »
L’image de l’écriture du stade (un fer à cheval ouvert vers la gauche) rappelle le signe égyptien pour dix (un fer à cheval ouvert vers le bas). Les Pythagoriciens considéraient dix Principes ou « oppositions » qui sont : limité et illimité ; impair et pair ; un et multiple ; droite et gauche ; mâle et femelle ; repos et mouvement ; rectiligne et courbe ; lumière et obscurité ; bon et mauvais ; carré et oblong.
L’addition est définie par diverses expressions, qui dérivent de la préposition hr. "en addition à", se représente par un hiéroglyphe, ancien dérivatif du sens littéral de hr « sur ». L’action d’additionner est dès lors vue comme une action d’empiler, d’ajouter. Le signe utilisé pour dire "plus ¼" (hieroglyphes à droite) se dit littéralement « son quart sur lui », ou en lisant de gauche à droite : « ¼ (le signe ro avec 4 unités en dessous) son (la vipère à corne) sur (le signe hr ) son 1 (la vipère à corne avec une unité au-dessus) » « son quart sur lui » se dirait de nos jour : « plus ¼ »
Ce que nous appelons somme ou total de nos jours est exprimé de deux facons principales. Soit la somme est sous entendu dans la formule de calcul (par exemple ci-dessus : « son quart sur lui, il devient x », soit au bas de longues additions, on trouve le signe « unir » ou « réunir » (c’est un rouleau de papyrus).
Littéralement : « tu retrancheras 1/9 de 9, à savoir 1, reste 8 » Ou plus clairement : « Tu soustrairas 1/9 de 9, soit 1, reste 8 » Un autre terme exprime la Différence, « s.km » (à droite) dont le véritable sens est « compléter », mais la notion sera abordée plus loin, dans les articles exposants quelques Problèmes du Papyrus Rhind . La notion de complément joue un grand rôle dans les calculs fractionnaires.
La multiplication, que nous appelons de nos jours, “Produit de deux nombres” consiste en Egypte à « répéter le premier nombre autant de fois qu’il y a d’unités dans le second. Ainsi, Problème No 48 du Papyrus Rhind, on trouve ceci :
Ce qui se lit : « pose :
en premier
> 8 jusqu’à 8 fois
deviendra
64 »
Ou si l’on préfère, « multiplie 8 fois 8, résultat 64 » ou encore, « comptes avec 8, 8 fois, il devient 64 ». La notion de multiplication, est inséparable de la notion de duplication (ou dichotomie s’il s’agit de multiplication par des fractions). Pour comprendre la multiplication Egyptienne, il faut se souvenir que « tout nombre est décomposable en une somme de puissance de 2, y compris l’unité »
L’élève résout ainsi le problème « multiplie 8 fois 8, résultat 64 » : Ainsi « pose 8, 13 fois » va s’écrire :
/1 fois 8 = 8
/2 fois 8 = 16
/4 fois 8 = 32
/8 fois 8 = 64
Le scribe marque d’un trait les multiplicateurs partiels 1, 4, 8 dont la somme = 13, et fais aussi la somme des produits partiels (8+32+64=104).
En fait l’opération se présente plus simplement que nous ne venons de le dire (pour la compréhension)... Ainsi, par exemple :
« place 5, 15 fois » s’écrira :
/1 5
/2 10
/4 20
/8 40
TOTAL 75
Dans la facon de résoudre le problème en le notant comme ci-dessus (comme en Egypte), en considérant la figure de l’opération, nous voyons deux colonnes de nombres qui sont chacune une progression géométrique. Celle de gauche est à rasion 2, avec pour premier terme l’Unité, celle de droite est à raison 2 avec pour premier nombre le nombre « x » a multiplier.
Nous verrons que ces suites géométriques font partie de l’enseignement Egyptien (Problème 79 du Papyrus Rhind (article à venir)). Elles font aussi partie de l’enseignement Pythagoricien qui distingue les proportions continues de trois termes des proportions continues ou discontinues de quatre termes. La loi essentielle qui les régit est : « Le produit des extrêmes est égal au produit des moyens » dans la proportion de quatre termes, et « le produit des extrêmes est égal au carré du moyen » dans la proportion continue de trois termes. Par exemple, dans notre progression ci-dessus, nous avons les progressions : 1,2,4,8 et 5,10,20,40... Or : 1x8 = 2x4, comme 5x40 = 10x20 pour quatre termes (produit des extrêmes = produit des moyens) 1x4 = 2x2 comme 5x20 = 10x10 pour trois termes (produit des extrêmes = carré du moyen)
Le but de la division, est de rechercher le quotient de deux nombres entiers, et on le définit actuellement ainsi : « On appelle quotient de deux nombres entiers le nombre de fois qu’un nombre contient l’autre » Dès lors rien n’empêche de considèrer le plus grand nombre comme étant le produit du plus petit par un nombre qui est à chercher. L’inconnue, ici, est donc le « nombre de fois » où on doit répéter le petit nombre pour trouver le plus grand. La division pourrait se poser comme une multiplication, avec la différence que le produit est déjà connu, et que nous devons multiplier le petit nombre autant de fois qu’il est nécessaire pour trouver le plus grand. C’est exactement le procédé que va suivre le scribe ! Pour « diviser 15 par 5, le scrbe écrira :
pose en 1er :
5
pour trouver
15
ou « place 5 pour trouver 15 » que l’on traduit par « Divise 15 par 5 ». Le scribe opère comme nous l’avons vu pour la multiplication :
/1 5
/2 10
Total 15
Le quotient cherché est à gauche de l’opération, et est la somme des multiplicateurs partiels (notés /1 et /2) 1+2=3 . Le scribe a effectivement, comme demandé, « posé 5 pour trouver 15 » , et la réponse est « 3 fois ». Nous venons de voir comment les Egyptiens abordaient la division, et la résolvaient. Il s’agit là d’une facon d’expliquer comment on procédait. Il y a trois terme pour désigner la division, que l’on traduit indifféremment par « divise x par y », mais dont le sens nous aide à mieux appréhender la pensée egyptienne :
L’action de diviser, dans le sens de couper, segmenter, fractionner une quantité en plusieurs parties. L’expression se retrouve dans le Problème No1 du Papyrus Rhind : « exemple de division de 1 pain entre 10 hommes » Le mot division est écrit « psch » qui a aussi le sens de « répartir ». L’expression d’un rapport entre deux nombres entiers, qui se transcrit par la fraction, expression définie entre autre au début de « la table de division de 2 par les nombres impairs » où le scribe écrit : « Appelle 2 en face de trois » (divise deux par trois). L’opération proprement dite. Comme vu ci-dessus, « Pose 5 pour trouver 15 » détermine l’opération qui consiste à répéter 5 autant de fois que nécessaire pour trouver 15. La multiplication se pose comme la division, à ceci près que le résultat de la multiplication se lit dans la colonne de droite, alors que le quotient se lit dans la colonne de gauche.
Il y a donc « renversement » dans la division : c’est le nombre diviseur qui prend le rôle passif et sera multiplié.(Cette notion est importante, et nous y reviendrons dans les articles d’exemples du Papyrus Rhind). Le mathématicien pharaonique, par « jeu », ne reconnaît qu’une seule opération qui répond au principe originel de division de l’Unité, et qui résume les quatre opérations puisque par la duplication, on a indifféremment la division ou la multiplication, dont la lecture se fait par addition et soustraction. Le tableau à droite récapitule les différents signes vus.
Bonjour,
Je pense quatre papyrus (dit de rhind ou de moscou et autres)incomplet bien qu’ayant propulsés les recherches en mathématiques dans l’Europe du 19è siècle et donc fait évoluer la pensée mathématique mondiale,ne peuvent à eux seul traduire toute la pensée mathématique de l’Afrique des pharaons. Je conviens avec vous que le zéro (0) en tant que système de notation mathématique est inexistant, par contre le zéro comme objet mathématique est employé dans dans d’autres papyrus scientifiques qui sont toujours écrit en écriture hératique : le zéro est appelé "néféru" (graphie constitué du coeur, serpent, la bouche et la caille pour marque de pluriel).Vous l’aurez certainement remarqué dans les fameux papyrus, on s’intéresse à la résolution des problèmes concrets qui peuvent s’apparenter à la résolution des problèmes de physiques que l’on rencontre de nos jours. Cela induit la manipulation des nombres positifs et donc des nombres rationnels pour ne pas parler des nombres décimaux par extension,car 5+1/2 du système de notation de l’époque des pharaon,jusqu’à preuve contraire, est un nombre réel dans le système de notation actuel donc les conventions de nos jours. Vous avez également remarqué que dans les développement des nombres dans ces papyrus le chiffre zéro est un élément absorbant donc sans intérêt pour les développements traités, bien que cela nous est utile pour le traitement de l’information (la fameuse algèbre de Boole : ici le papyrus dit de Rhind montre que tout nombre positif est somme des puissances de 2).Quant à l’infini le terme utilisé est néhéhé(l’éternité). Pour ma part, je pense que l’égyptologie est une science qui est née de la négation du rattachement de l’Egypte au continent africain, il n’y a qu’à lire les auteurs d’époque qui ont torpillé les idées de champolion le jeune et du conte de Volnay. La négation est la bête noire des puissants ou de ceux qui se croient puissant. Quant on pense que l’on est arrivé jusqu’à nier aux africains noirs leur humanité, il faut être prudent avant de rapporter ou reconduire des opinions qui s’aparentent plus à de la propagande qu’à des faits.
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