Les mathématiques égyptiennes

Fractions

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Principes généraux

Si on divise l’unité en un certain nombre de parties égales, et que l’on prenne une ou plusieurs des parties formées, on a une fraction. Elle comporte un numérateur (le chiffre du haut) et d’un dénominateur (en bas) : 1/2 ; 5/4 ; 12/9 etc. L’Egypte Ancienne n’admet qu’un seul numérateur : 1 (une seule exception pour la fraction 2/3), toutes les fractions sont donc de type 1/n. Les nombres fractionnaires sont tous exprimés par le signe de la bouche sous lequel est inscrit le dénominateur. Voici quelques exemples :

1/7

1/3

2/3

Le symbole de la bouche, représente aussi les cordes vocales "qui émettent le Verbe". Par exemple 1/3 est symboliquement le Verbe unitaire (car l’Unité, en se divisant) qui énonce 7 comme 3 + 4 dans notre exemple. Ce même signe de la bouche sert à écrire le nom de Râ, symbole de l’émanation du Verbe créateur de l’Univers. Le scribe ne peut écrire par exemple 2/7 : il est obligé de transcrire cette fraction : pour l’aider dans sa tâche, il a une table de transformation de 2/n en expression fractionnaires de numérateur 1 (on trouve ces tables avec plusieurs papyrus mathématiques).

Comparaisons

Plutôt qu’un long exposé, nous allons prendre un exemple simple afin de comprendre comment procédait le scribe egyptien. Pour ce faire, nous allons suivre le scribe pas à pas, et vous pouvez refaire le raisonnement sur une feuille de papier.

Prenons une baguette d’une longueur quelconque, elle vaut Un . Divisons cette longueur en 7 parties : elle devient ainsi plusieurs parties, que nous allons appeler 7 paumes (chacune étant à sont tour une nouvelle unité "paume") Divisons à nouveau chaque paume en 4 parties : nous avons ainsi 28 parties (4x7) formant nouvelle unité, qu’on nommera doigt.

Le scribe demande combien fait la somme des fractions, par rapport à l’unité primitive (notre baguette). Il posera son opération comme suit :

                1    +    1  +     1   +     1                La plus petite unité 1/28 est prise comme
                2          4         7          28             valant l’unité nouvelle , et le scribe
                                                                                   pose en rouge (Papyrus Rhind) le nombre
                                                       1                1 dessous.
Puis il poursuit son développement en calculant combien de fois l’unité est contenue dans les autres nombres :
                1    +    1  +     1   +     1                        Ce que nous appelons le " dénominateur
                2          4         7         28                       commun", 28, n’est pas mentionné, et
                                                                                          sous entendu.
             14        7         4          1     =  26

Si on demande alors, combien il manque à cette somme pour retrouver l’unité d’origine (la baguette de bois) valant 28 doigts, le scribe notera juste : "Total 26, reste 2". Pour compléter jusqu’à 1, il sait qu’il faut ajouter deux doigts, soit 1/14. Le mode de calcul égyptien est simple : pour faire la somme de fractions de numérateur 1 et dénominateurs différents, il suffit de prendre comme unité la fraction la plus petite, celle ayant le plus grand dénominateur, qui devient dénominateur commun. Ensuite on compte combien de fois on retrouve ce dénominateur commun sans les autres et on note sous chaque fraction sa valeur respective. La somme de ces valeurs donne le résultat cherché, noté en nombres entiers, sans mentionner le dénominateur commun qui reste sous-entendu et n’est jamais écrit. Ce procédé est fort simple, et très efficace. Pour comparaison, dans nos mathématiques actuelles nous passons par trois phases pour résoudre le problème :

  • décomposition de chauqe dénominateur en ses facteurs premiers
  • chercher le PPCM (Plus Petit Commun Multiple) des dénominateurs
  • diviser le PPCM par chacun des dénominateurs, puis multiplier les deux termes de chaque fraction par le quotient correspondant.

Le scribe passe directement à la troisième étape, et trouve son total directement. Ce raisonnement est celui exposé par Theon de Smyrne lorsqu’il écrit

"Si nous divisons en plusieurs parties un corps sensible, ce qui était un devient plusieurs, et si l’on soustrait chacune des parties, il se terminera à un ; et si cet un, nous le divisons de nouveau en plusieurs parties il en sortira la multitude, et en enlevant chacune de ses parties on en reviendra à un, de sorte que ce qui est un, en tant qu’un, est sans parties et indivisible"

(Theon de Smyrne - "L’un et la monade")

On comprendra mieux, maintenant, pourquoi la notion d’infini n’existe pas (voir l’introduction de l’article sur les opérations mathématiques) : parcequ’elle se confond avec l’Unité indivisible, c’est-à-dire la cause originelle.

Notion de la pensée géometrique

Chez les Egyptiens, comme pour les Grecs ou les autres civilisations antiques, la pensée mathématique ne peut être comprise sans la géométrie. Pour bien comprendre cela, nous devons nous départir de notre système de pensée. Nous n’écrivons plus de nos jours 1+1/3 mais 1.33333... par exemple. Les anciens concevaient les nombres comme linéaires, plans ou solides. Parmi les nombres plans, on distingue les nombres triangulaires qui sont l’essence d’où viennent tous les nombres polygones (nombres carrés, rectangulaires, etc). Tout nombre peut être représenté sous la forme d’unités-points le représentant, comme lorsqu’on trace des traits dans le sable.Sous cette forme, tout nombre plan est soit un produit, soit une somme. Ainsi, le nombre carré 4 peut-être soit le produit de 2x2, mais aussi la somme de 2+2 ou 1+3. Tout nombre triangulaire est une somme, puisqu’étant le résultat de la somme d’une série artithmétique de type 1+2+3+4+5...

                                  I                                  1
                                I   I                               3 =  1 + 2
                              I   I   I                             6 =  1 + 2 + 3
                            I   I   I   I                         10 =  1 + 2 + 3 + 4
                          I   I   I   I   I                       15 =  1 + 2 + 3 + 4 + 5
                        I   I   I   I   I   I                     21 =  1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6
                      I   I   I   I   I   I   I                   28 =  1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7

Le nombre triangulaire 28 est le septième terme de cette série, et il est la somme des 7 premiers nombres. Il est intéressant de rappeler que 28 est le nombre de doigts d’une Coudée Royale. 28 est signalé par les Pythagoriciens comme un nombre parfait (les trois premiers nombres parfaits sont 6, 28 ,496) car il a la particularité d’être égal à la somme de ses facteurs : 28 = 14 + 7 + 4 + 2 + 1. Cette propriété en fait un nombre à la perfection remarquable. La figuration triangulaire nous montre un autre aspect de l’importance de ce nombre : on y voit 18 unités-points entourant la décade, qui est elle-même formée de la grande Ennéade entourant l’Unité centrale (La Décade est l’issue de la division de l’Unité. Dans cette Décade, résident tous les principes de création du monde,pour les Egyptiens, du stade du noun océan primordial d’un monde non encore physique à monde physique. La Décade se compose de l’Unité originelle, ce qui est normal puisqu’elle est incluse en lui, et de l’Ennéade qui est formée des 9 unités-points entourant l’Unité, chacune étant un stade permettant le développement d’une nouvelle phase de division 2, 3, 4, 5, 6, etc ; un peu comme une division cellulaire, mais étant simultanée dans le temps, d’où la position centrale de l’Unité dans la figure...

Les nombres carrés peuvent être formés de plusieurs facons :

  • par la multiplication de deux facteurs (ou côtés) égaux
  • par addition de deux triangles consécutifs : en reprenant la série triangulaire ci-dessus, on constate qu’en l’additionnant à elle-même avec décalage d’une unité, on obtient pour somme la suite naturelle des carrés parfaits :
                    1               =   1
                    3 + 1           =   4
                    6 + 3           =   9
                    10 + 6          =  16
                    15 + 10         =  25 etc...
On peut le démontrer géométriquement, au moyen d’unités-points :
                                                              O                      Tout ce que nous disons ici présuppose
                                           O             O    O                   la connaissance par les Egyptiens des
                             O        O   O       O    O    O               progressions artihmétiques ainsi que
                     O  O   O  O   O   O O   O   O    O            des lois qui les régissent.
                             O        O   O        O   O   O               Deux problèmes du Papyrus Rhind
                                           O              O  O                    (No 40 et No 64) attestent de ces
                                                               O                      connaissances.
  • par génération d’un carré primitif auquel s’ajoute un gnomon : la génération des carrés par addition du gnomon (Un gnomon est pour Pythagore un angle qui se dessine sur le cadran solaire) est plus complexe a expliquer qu’à comprendre : elle se fait au moyen d’une croissance partant du carré primitif 1 et de la suite naturelle des nombres impairs 3, 5, 7, 9... Comme on le voit dans le schéma ci-dessous, l’unité est le premier carré possible, le premier gnomon est alors 3, etc... :
                                                                              1        =  1  =  1x1
                                                                              1 + 3  =  4  =  2x2
                                                  I    I    I     I          4 + 5  =  9  =  3x3
                            I   I   I            I    I    I    I           9 + 7  = 16 = 4x4
         I  I              I   I   I            I    I    I    I         16 + 9  = 25 = 5x5
         I  I              I   I   I            I    I    I    I         25 +11 = 36 = 6x6
    

Si nous considérons que, qu’elle que soit sa valeur, le carré initial vaut toujours 1, le gnomon qui s’ajoute étant alors une fraction de l’unité, nous sommes prêts pour aborder la multiplication fractionnaire pharaonique.

Multiplication de fractions

Exemple

Soit à multiplier (1 + 1/3) x (1 + 1/3) Le scribe posera ainsi sont opération :
          1                      1 + 1/3

1/3 1/3 + 1/9

Le produit est : 1 + 2/3 + 1/9. Ce produit peut rester tel quel, ou nous pouvons l’écrire selon le mode égyptien, c’est-à-dire en prenant pour unité nouvelle la fraction ayant le plus grand dénominateur :
                                1 + 2/3 + 1/9

9 6 1 = 16

En nous remémorant ce que nous venons de voir sur la génération d’un carré primitif auquel s’ajoute un gnomon, nous constatons qu’au carré initial 9 s’ajoute 7 pour former le carré suivant 16.

Une autre loi essentielle est à la base de ce calcul, une loi que nous apprenons tous de nos jours, et que nous allons voir en utilisant notre notation de formule avec des lettres :

Cette formule, bien que très utilisée en Egypte comme à Babylone, n’a jamais été formulée par écrit. Cela dit, le mode opératoire montre sa connaissance, mais aussi la connaissance de toutes les combinaisons possibles (carrées ou rectangulaires) qui en découlent. L’Egypte ne perd jamais son temps a expliquer des évidences, et il faudra attendre les Grecs pour que cette formule soit exposée, notamment par les Pythagoriciens.

Nous avons l’habitude du système décimal, et pour nous (1 + 1/3)x(1 + 1/3) n’est autre pour nous que 1.3333...² = 1,77777... excluant toute idée géométrique. Lorsque nous multiplions 4/3 par 4/3, nous ne trouvons que 16/9, soit un rapport numérique entre deux nombres carrés, mais nous perdons de vue le carré d’origine et l’addition de son gnomon.

Formules de multiplication de fractions.

  • pour multiplier une fraction par un nombre entier, on multiplie son numérateur par l’entier : 2/3 x 5 = 10/3 que le scribe écrivait 3 + 1/3 Le scribe disait "Pose 2/3, 5 fois" et opérait comme pour une multiplication ordinaire.
  • pour multiplier une fraction par une fraction, on les multiplie terme à terme C’est là quelque chose que nous avons déjà vu et utilisé : quand le scribe écrit par exemple : " 1/3 de ce 1/3 est 1/9 " cela revient à écrire : 1/3 x 1/3 = 1/9

Suite à la notation fractionnaire à numérateur 1, une expression fractionnaire se présente souvent comme une suite de fractions : dès lors les deux théorèmes suivants sont d’importance :

  • produits partiels obtenus . (" distributivité ")
  • le produit d’une somme par une somme est la somme des produits de tous les termes de la première somme par chacun des termes de la seconde.

C’est le fameux : (a + b) (a + b) = aa + ab + bc + bb = a² + b² + 2 ab qui fait un carré, et (a + b) (c + d) = ac + ad + bc + bd qui donne un rectangle.

Toutes ces règles sont appliquées à toutes les multiplications fractionnaires, et ce dans tous les papyrus mathématiques : les Egyptiens connaissaient donc bien de nombreuses règles et théorèmes exposés et développés ensuite par les Grecs.

Il est évident que pour aborder les connaissances mathématiques des Egyptiens, nous ne devons jamais oublier qu’ils étaient surtout et avant tout géomètres et raisonnaient comme tel.

Division de fractions

Notions préalables

Le Papyrus Rhind commence par une table de conversion de fraction de type 2/n en fractions à numérateur 1 (sauf pour 2/3). Il faut aussi savoir, qu’il est interdit de décomposer le nombre 2/n en deux parties égales, et ce par respect logique avec les principes théologiques : l’Unique ne peut se manifester que par sa propre division (ou scission) en deux parties inégales. Par exemple, la fraction 2/2x ne peut se décomposer en 1/a + 1/a.

Dès lors, même si une division arithmétique se présente comme un jeu de quantités, son essence est d’un caractère vital : il s’agit là d’une fonction scissiparisante dont le fractionnement en quantités n’est qu’un symbole. Puisque la division en deux parties égales est interdite, et puisque les fractions sont toutes à numérateur 1, c’est qu’il y a volonté d’un rapport proportionnel dans l’esprit d’une proportion harmonique.

Enfin, de part le système de notation des nombres, purement abaciste, nous conduit à une représentation géométrique des calculs. La fonction prime en tant que proportionnalité sur les quantités mathématiques.

Notion d’inverse et de croisement

Je ne traiterais pas ici de la notion symbolique du Croisement en Egypte. Ce qu’il faut comprendre, c’est que la division pharaonique se pose de la même manière que la multiplication, mais qu’il y a "renversement" et "croisement" (ces deux termes ont une portée symbolique très forte dans la mentalité Egyptienne). On retrouve la même chose à Babylone.

Actuellement, pour diviser une fraction par une autre, on la multiplie par l’inverse du nombre diviseur. C’est aussi ce que fait le scribe : dans le problème 63 du Papyrus Rhind, il doit diviser 700 par 1 ½ ¼ (= aujourd’hui : 7/4). Comment fait-il ? il progresse en deux temps :

*1. il divise 1 par 1 ½ ¼ et obtient ½ 1/14 (divise 7 par 7/4 = 4/7) *2. il multiplie alors 700 par ½ 1/14, résultat 400.

Cette facon de procéder nous amène à une règle mathématique : Pour diviser un nombre par une fraction, on le multiplie par la fraction renversée. Cette notion d’inverse, de croisement, se retrouve dans l’image même de la Coudée Royale.

Notion de progression harmonique.

La Coudée Egyptienne trace ses subdivision en énumérant de gauche à droit les nombres entiers (1, 2, 3, 28) et de droite à gauche les fractions de mesures (½, 1/3, ¼,... 1/16), ce qui donne :
               ...1/9, 1/8, 1/7, 1/6, 1/5, ¼, 1/3, ½, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, ...

Progression harmonique Progression arithmétique

La médiété harmonique est exprimée en fractions. La progression harmonique apparaît clairement comme une progression arithmétique renversée.

Notion de résolution géométrique Avant d’aborder la multiplication, nous avons abordé la notion de représentation géométrique de des nombres. Alors que pour la multiplication, le produit de deux nombres est le même quel que soit l’ordre des facteurs, le "quotient", que les Egyptiens nomment "rapport entre deux nombres", change selon la position des facteurs. La division donne deux possibilités de rapports, dont l’un est inverse de l’autre.

Tout rapport et son inverse forment une proportion géométrique avec l’unité.

Par exemple : calculer 2/3 x 1 ½ , donne une proportion ainsi formée :

2/3 : 1 : : 1 : 1 ½ ce qui transformé en nombres entiers donne 4 : 6 : : 6 : 9

Il est facile de vérifier, une fois l’expression fractionnaire transformée en nombres entiers que 4x9 = 6x6 = 36. Nous avons donc une proportion continue de trois termes. Cette proportion se transcrit par le triangle rectangle. Celui-ci est inscrit dans un demi-cercle, et on abaisse la hauteur sur l’hypothenuse : Ceci représente le cas du renversement des termes A : B : : B : C, soit AC = B² Mais pour une proportion discontinue de 4 termes le renversement ne suffit plus et le scribe fait appel au croisement : Ces rapports sont tels que :


  A : B : : E : F

B : A : : F : E

A : E : : B : F

E : A : : F : B

Exemple type de résolution d’une division

Cette exposition théorique peut sembler très complexe, surtout que de nos jours, nous raisonnons différemment. Aussi, nous allons suivre le scribe pas à pas sur un exemple simple. Pour cela nous devons aussi nous départir de notre langage actuel... Aussi nous ne dirons pas "diviser" mais bien :

"Appelle 1 en face de 2/3" :

le scribe trace alors la ligne EA (sur exemple ci-dessus) de sorte qu’il puisse ensuite aisément la diviser en deux segments qui seront entre eux comme 1 à 2/3 (point de croisement de la ligne BF sur le segment EA.

Comment fait-il ? le segment EA est tracé avec une unité de mesure quelconque, mais divisé en 10 mesures (10 cm par exemple si vous voulez le faire en même temps) : dès lors, le segment EA sera composé de deux segments qui sont entre eux comme 1 à 2/3 (il suffit de subdiviser le segment EA en 10 unités, le segment représentant 1 valant par exemple 6 cm et le segment représentant 2/3 vaudra 4 cm)

A chaque extrêmité du segment EA ,le scribe trace une perpendiculaire une montant (AB) l’autre descendant (EF) , c’est-à-dire dans le sens inverse l’une de l’autre . Ensuite il trace la droite FB passant par le point défini sur le segment EA

Puis le scribe fait l’opération : "Pose 2/3 pour trouver 1". Le scribe notera :

                                                                                    1            2/3

½ 1/3

total : 1

quotient : ½

Ce qui donne la figure suivante (les nombres désignent les mesures en cm ou en doigts) :

Sur la perpendiculaire descendante, le scribe marque 1 et passe la diagonale qui passe par le point de croisement et détermine 2/3 sur la perpendiculaire montante. Il est alors évident que 1 : 1 : : 2/3 : 1/3 Il manque 1/3 sur la droite ascendante pour trouver 1 , c’est-à-dire la moitié de 2/3. Le scribe trace donc la diagonale partant du segment vertical 1/3+2/3 , en la faisant passer par le point défini sur la droite horizontale. Cela ajoute donc ½ sur la perpendiculaire descendante, et on peut vérifier facilement que : 1 ½ : 1 : : 1 : 2/3 .

NB : les valeurs données sont arbitraire : la longueur dénommée 1 aura la valeur que l’on veut. Sur ce schéma , comme dans la facon d’écrire l’opération du scribe, le produit se lit à droite ; et le quotient se lit à gauche. On remarquera aussi à quel point les Egyptiens raisonnaient en géomètres. Cette méthode de résolution de division est celle employée pour n’importe quelle division de fraction, que ce soit dans le Papyrus Rhind comme dans tous les autres Papyrus mathématiques.

Informations sur cet article
  • Auteur(s) : her bak
  • Publication : 17 mai 2005
  • Mise à jour : 17 mai 2005
  • Profil(s) : Egyptoexpert

Réactions

Répondre à cet article
  • C’est dommage qu’il n’y ai pas "les origines" des fractions : qui les a inventée... Leurs histoire quoi.
    Répondre à ce message

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